Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C，D兩點．點P是x軸上的一個動點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當PA+PB的值最小時，求點P的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點Q（Q與B不重合），使△CDQ的面積等于△BCD的面積？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；（2）當PA+PB的值最小時的點P的坐標為（，0）；（3）點Q的坐標為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．

【解析】

（1）設拋物線頂點式解析式y=a（x-1）2+4，然后把點B的坐標代入求出a的值，即可得解；（2）先求出點B關于x軸的對稱點B′的坐標，連接AB′與x軸相交，根據軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的點P，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AB′的解析式，再求出與x軸的交點即可．（3）S△CDQ=S△BCD且CD是兩三角形的公共底邊知|yQ|=yB=3，據此得yQ=3或yQ=-3，再分別求解可得．

解：（1）∵拋物線的頂點為A（1，4），

∴設拋物線的解析式y=a（x﹣1）2+4，

把點B（0，3）代入得，a+4=3，

解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

（2）點B關于x軸的對稱點B′的坐標為（0，﹣3），

由軸對稱確定最短路線問題，連接AB′與x軸的交點即為點P，

設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3，

令y=0，則7x﹣3=0，

解得x=，

所以，當PA+PB的值最小時的點P的坐標為（，0）．

（3）∵S△CDQ=S△BCD，且CD是兩三角形的公共底邊，

∴|yQ|=yB=3，

則yQ=3或yQ=﹣3，

當yQ=3時，﹣（x﹣1）2+4=3，

解得：x=0或x=2，

則點Q（2，3）；

當yQ=﹣3時，﹣（x﹣1）2+4=﹣3，

解得：x=1﹣或x=1+，

則點Q坐標為（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；

綜上，點Q的坐標為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．