Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點，直線OD與⊙O相交于E，F兩點，P是⊙O外一點，P在直線OD上，連接PA，PC，AF，且滿足∠PCA=∠ABC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）證明：；

（3）若BC=8，tan∠AFP=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=．

【解析】

（1）先判斷出PA=PC，得出∠PAC=∠PCA，再判斷出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠CBA=90°，再判斷出∠PCA+∠CAB=90°，得出∠CAB+∠PAC=90°，即可得出結論；
（2）先判斷出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2=OPOD，進而得出

，，即可得出結論；
（3）在Rt△ADF中，設AD=a，得出DF=3a．，AO=OF=3a-4，最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2，即可得出結論．

（1）證明∵D是弦AC中點，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂線，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°．

又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切線；

（2）證明：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴．

又，∴，即．

（3）解：在Rt△ADF中，設AD=a，則DF=3a．，AO=OF=3a-4．

∵，即，解得，∴DE=OE-OD=3a-8=．