Question

【題目】如圖，已知△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線，交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：BD=CD；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴BD=CD

（2）

解：當△ABC滿足AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．

理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴□AFBD是矩形

【解析】根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；
（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質可知必須是AB=AC．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握平行四邊形的判定與性質(若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積)的相關知識才是答題的關鍵．