Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；

（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，則PB+PD的最小值為 ；

（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點．

①若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個；

②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標（，）；（2）；（3）①5；②≤t≤．

【解析】（1）由題意得：，解得：，∴拋物線解析式為，∵=，∴頂點坐標（，）．

（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最�。�

理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO=，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，∴PB+OD=PH+PD=DH，∴此時PB+PD最短（垂線段最短）．

在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值為．故答案為：．

（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，故答案為：5．

②如圖，RT△AOB中，∵tan∠ABO=，∴∠ABO=30°，作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．

則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，∵EB==，∴OE=OB﹣EB=，∵F（，t），，∴，解得t=或，故F（，），G（，），∴t的取值范圍≤t≤