Question

如圖：拋物線經過A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。
（注：拋物線的對稱軸為）

Answer 1

（1）；（2）；（3）M

試題分析：（1）根據拋物線經過A（－3，0）、C（4，0）設拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－4)，再把B（0，4）代入即可求得結果；
（2）找到變化過程中的不變關系：△CDQ∽△CAB，根據相似三角形的性質即可求得結果；
（3）因為A、C關于對稱，所以MQ+MC的最小值即為MQ+MA的最小值，根據兩點之間線段最段，A、M、Q共線時MQ+MC可取最小值．
（1）設拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－4)
因為B（0，4）在拋物線上，所以4＝a(0＋3)(0－4)，解得
所以拋物線解析式為 
（2）連接DQ，

在Rt△AOB中，
所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7–5＝2
因為BD垂直平分PQ，
所以PD＝QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB＝∠QDB
因為AD＝AB，
所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB
所以即
所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5＝，
所以t的值是；                                        
（3）對稱軸上存在一點M，使MQ＋MC的值最小
理由：因為拋物線的對稱軸為
所以A（－3，0），C（4，0）兩點關于直線對稱
連接AQ交直線于點M，則MQ＋MC的值最小
過點Q作QE⊥x軸于E，所以∠QED＝∠BOA＝90⁰
所以DQ∥AB，
所以∠ BAO＝∠QDE， 
所以△DQE ∽△ABO
所以，即
所以QE＝，DE＝，
所以OE＝OD＋DE＝2＋＝，所以Q（，）
設直線AQ的解析式為
則 由此得
所以直線AQ的解析式為 
由得
則在對稱軸上存在點M，使MQ＋MC的值最小．
點評：此題將用待定系數法求二次函數解析式、動點問題和最小值問題相結合，有較大的思維跳躍，考查了同學們的應變能力和綜合思維能力，是一道好題．