Question

已知：如圖，拋物線（）與軸交于點( 0，4) ，與軸交于點，，點的坐標為（4，0）.

(1) 求該拋物線的解析式；
(2) 點是線段上的動點，過點作∥，交于點，連接. 當的面積最大時，求點的坐標；
（3）若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標為（2，0）. 問: 是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）（1，0）；（3）（，3）或（，3）或（，2）或（，2）

試題分析：（1）由拋物線與軸交于點(0，4)，與軸交于點（4，0）根據待定系數法即可求得結果；
（2）先求得拋物線與x軸的交點坐標，根據勾股定理可得，，，設，的面積用表示，由∥可得， 即，即可表示出CE的長，過點作，垂足為，在Rt中求得∠B的正弦函數，在Rt中即可表示出QM的長，從而可以表示出y關于x的函數關系式，再根據二次函數的性質即可求得結果；
（3）分為底邊、為腰且為頂角、為腰且為頂角三種情況分析即可.
（1）∵拋物線（）與軸交于點(0，4)，與軸交于點（4，0）
∴，解得
∴該拋物線的解析式為；
（2）令，則，解得，
∴
∴，，
設，的面積用表示，
∵∥
∴ ，即
∴ 
過點作，垂足為

在Rt中，
在Rt中， 
∴
∴當時，的面積最大是3，即點的坐標為（1，0）；
（3）①當為底邊時，點的橫坐標是1，又點在直線上，直線的解析式為，所以點的坐標是（1，3），所以點的縱坐標為3，代入，得點的坐標為（，3）或（，3）
②當為腰，為頂角時，此時點是以點為圓心，為半徑的圓與直線的交點，有兩個點，點（4，0）與點重合，舍去，點（2，2），所以點的縱坐標為2，，代入，得點的坐標為（，2）或（，2）
③當為腰，為頂角時，此時點應是以點為圓心，為半徑的圓與直線的交點，但是點到的距離為，所以不存在滿足條件的點.
點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要學生熟練掌握二次函數的性質的應用.