Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，，經過兩點的圓交軸于點（在上方），則四邊形面積的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

四邊形ADBC的面積分兩部分，是△ADC和△BDC的面積和，兩個三角形計算面積時，都以CD為底，點A到CD 的 距離為2，點B到CD 的 距離為3，這兩個高是定值，所以只有當底CD值最小時，四邊形ADBC的面積才有最小值.根據垂徑定理知，弦的垂直平分線必過圓心，所以求出過圓心和線段AB中點的直線l的解析式，再根據勾股定理得出關于CH的關系式，先求得CD的一半，即CH的最小值，從而求出CD 的最小值.

解：如圖：

∵，，

∴AB的中點坐標為（ ，），AB與x軸夾角為45°，設圓心為M，

線段AB的垂直平分線l必過圓心M，解得l的解析式為y=-x+3，設圓心M的橫坐標為a，則縱坐標為：-a+3，即M（a，-a+3）,半徑r2=(a+2)2+(a-3)2

∴S四邊形ADBC=×OA×CD +×yB×CD=×2×CD +×3×CD=CD,

當CD值最小時，S四邊形ADBC有最小值.

∵Rt△CMH中，由勾股定理得：CH2=CM2-MH2=(a+2)2+(a-3)2-a2=a2-2a+13=(a-1)2+12，

當a=1時，CH2有最小值，為12，即CH=2，CD=2CH=4，

∴S四邊形ADBC最小值=×4=10 .

故答案為：10 .