Question

【題目】已知：如圖，BC為⊙O的弦，點A為⊙O上一個動點，△OBC的周長為16．過C作CD∥AB交⊙O于D，BD與AC相交于點P，過點P作PQ∥AB交于Q，設∠A的度數為α．

（1）如圖1，求∠COB的度數（用含α的式子表示）；

（2）如圖2，若∠ABC＝90°時，AB＝8，求陰影部分面積（用含α的式子表示）；

（3）如圖1，當PQ＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠COB＝2α；（2）陰影部分面積＝；（3）.

【解析】

（1）根據圓周角定理可得∠COB＝2∠A＝2α；

（2）當∠ABC＝90°時，可得點P與圓心O重合，根據△OBC的周長為16以及AB＝8，可求得⊙O的半徑為5，可得出扇形COB的面積以及△OBC的面積，進而得出陰影部分面積；

（3）由CD∥AB∥PQ，可得△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，即，兩式子相加可得，即可得出的值．

解：（1）∵∠A的度數為α，

∴∠COB＝2∠A＝2α，

（2）當∠ABC＝90°時，AC為⊙O的直徑，

∵CD∥AB，

∴∠DCB＝180°﹣90°＝90，

∴BD為⊙O的直徑，

∴P與圓心O重合，

∵PQ∥AB交于Q，

∴OQ⊥BC，

∴CQ＝BQ，

∵AB＝8，

∴OQ＝AB＝4，

設⊙O的半徑為r，

∵△OBC的周長為16，

∴CQ＝8﹣r，

∴（8﹣r）2+42＝r2，

解得r＝5，CB＝6，

∴陰影部分面積＝；

（3）∵CD∥AB∥PQ，

∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，

∴，

∴，

∵PQ＝2，

∴，

∴＝2．