Question

【題目】我們知道，圖形的運動只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀、大小，運動前后的兩個圖形全等，翻折就是這樣．如圖1，將△ABC沿AD翻折，使點C落在AB邊上的點C'處，則△ADC≌△ADC'．

嘗試解決：（1）如圖2，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將△ABC沿AD翻折，使點C落在AB邊上的點C'處，求CD的長．

（2）如圖3，在長方形ABCD中，AB=8，AD=6，點P在邊AD上，連接BP，將△ABP沿BP翻折，使點A落在點E處，PE、BE分別與CD交于點G、F，且DG=EG．

①求證：PE=DF；

②求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①見解析；②

【解析】

（1）利用勾股定理求出AB，由翻折及三角形全等的性質得到，，再利用勾股定理求出CD；

（2）①由翻折可知△PAB≌△PEB，根據ASA證明△DPG≌△EFG，即可求出結論；

②先將BF、CF分別用PA表示出來，再根據勾股定理求出PA即可.

解：（1）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

由翻折可知，

∴，，

∴

∵，

∴

∴是直角三角形，且，

∴

∴，

∴CD=5；

(2)①由翻折可知△PAB≌△PEB，

∴PA=PE， ，

在△DPG和△EFG中

，

∴△DPG≌△EFG，

∴PG=FG，DG=EG，

∴，

∴PE=DF；

②∵，△DPG≌△EFG，AB=8，AD=6，

∴PE=DF=PA，

∴CF=8-DF=8-PA，

∵EF=DP=AD-AP=6-PA，

∴BF=8-EF=8-(6-AP)=2+PA，

在△BCF中，，

∴，

∴,

∴.