Question

【題目】已知：如圖等邊△ABC，D是AC的中點，E在BC的延長線上，且CE＝CD，過D作DF⊥BE于點E．

（Ⅰ）求證：△BDE為等腰三角形；

（Ⅱ）請猜想FC與BF間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）BF＝3FC，理由見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據“三線合一”得到∠ABD=∠CBD=30°，然后再由CE=CD，根據“等邊對等角”得到∠CDE=∠E，因為∠ACB為三角形DCE的外角，根據外角性質得到∠CDE=∠E=30°，進而利用等量代換得到∠DBE=∠E，根據“等角對等邊”得到DB=DE；
（Ⅱ）解直角三角形求得BF＝DF，DF＝FC，從而證得BF=3FC．

（Ⅰ）證明∵BD是等邊△ABC的中線，

∴BD平分∠ABC，

∴∠DBE＝∠ABC＝30°，

又∵CE＝CD，

∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．

∴∠DBE＝∠E，

∴DB＝DE，

∴△BDE為等腰三角形；

（Ⅱ）猜想FC與BF間的數量關系為：BF＝3FC，

證明：∵D是等邊△ABC的邊AC的中點，

∴BD⊥AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，

∴BF＝DF，

∵DF⊥BE，∠DCF＝60°，

∴DF＝FC，

∴BF＝3FC．