Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是對角線，∠ADB=90°，E、F分別為邊AB、CD的中點．

（1）求證：四邊形DEBF是菱形；

（2）若BE=4，∠DEB=120°，點M為BF的中點，當點P在BD邊上運動時，則PF+PM的最小值為　 　，并在圖上標出此時點P的位置．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行四邊形的對邊相等證明四邊形DEBF的四邊相等即可證得；

（2）連接EM，EM與BD的交點就是P，FF+PM的最小值就是EM的長，證明△BEF是等邊三角形，利用三角函數求解．

（1）∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．

∵△ABD中，∠ADB=90°，E時AB的中點，∴DE=AB=AE=BE．

同理，BF=DF．

∵平行四邊形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四邊形DEBF是菱形；

（2）連接BF．

∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等邊三角形．

∵M是BF的中點，∴EM⊥BF．

則EM=BEsin60°=4×=2．

即PF+PM的最小值是2．

故答案為：2．