Question

【題目】若一個兩位數十位、個位上的數字分別為，我們可將這個兩位數記為，易知；同理，一個三位數、四位數等均可以用此記法，如．

（基礎訓練）

（1）解方程填空：

①若，則______；

②若，則______；

③若，則______；

（能力提升）

（2）交換任意一個兩位數的個位數字與十位數字，可得到一個新數，則一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（請從大于5的整數中選擇合適的數填空）

（探索發現）

（3）北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛．數學中也存在有趣的黑洞現象：任選一個三位數，要求個、十、百位的數字各不相同，把這個三位數的三個數字按大小重新排列，得出一個最大的數和一個最小的數，用得出的最大的數減去最小的數得到一個新數（例如若選的數為325，則用532-235=297），再將這個新數按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現的數，這個數稱為“卡普雷卡爾黑洞數”．

①該“卡普雷卡爾黑洞數”為______；

②設任選的三位數為（不妨設），試說明其均可產生該黑洞數．

Answer 1

【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495

【解析】

(1)①根據，結合已知可得關于x的方程，解方程即可得；

②根據題意可得關于y的方程，解方程即可得；

③由及四位數的類似公式可得關于t的方程，解方程即可得；

(2)根據分別對、、按此表示方法進行整理即可求得答案；

(3)①若選的數為325，則用532-235=297，然后根據題中所給的規則繼續計算即可求得答案；

②當任選的三位數為時，根據規則第一次運算后得，結果為99的倍數，由于，故，繼而確定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，從而可得第一次運算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，對這些數字根據規則繼而進行運算即可求得答案.

(1)①∵，

∴若，則，

∴，

故答案為：2；

②若，則，

解得，

故答案為：4；

③由及四位數的類似公式得

若，

則，

∴100t=700，

∴，

故答案為：7；

(2)∵，

∴則一定能被 11整除，

∵，

∴一定能被9整除，

∵

，

∴一定能被10整除，

故答案為：11；9；10；

(3)①若選的數為325，則用532-235=297，以下按照上述規則繼續計算，

，

，

，

，

故答案為：495；

②當任選的三位數為時，第一次運算后得：

，

結果為99的倍數，由于，故，

∴，又，

∴，

∴，3，4，5，6，7，8，9，

∴第一次運算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，

再讓這些數字經過運算，分別可以得到：

，，，，…故都可以得到該黑洞數495．