Question

10．在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x₁，y₁），點Q的坐標為（x₂，y₂），若a=|x₁-x₂|，b=|y₁-y₂|，則記作（P，Q）→{a，b }．
（1）已知（P，Q）→{a，b }，且點P（1，1），點Q（4，3），求a，b的值；
（2）點P（0，-1），a=2，b=1，且（P，Q）→{a，b }，求符合條件的點Q的坐標；
（3）⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，點P在⊙O上，點Q（m，n）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據定義即可解決問題．
（2）利用定義，列出絕對值方程即可解決問題．
（3）由題意可以假設直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，①當直線PQ與⊙O相切，切點為P時，在Rt△PCO中，OP=$\sqrt{5}$，tan∠PCO=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，求出直線PQ的解析式，利用方程組即可求出點Q坐標．②當直線P′Q′與⊙O相切，切點為P′時，求出直線P′Q′的解析式，列方程組即可求出點Q坐標．由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵點P（1，1），點Q（4，3），
∴a=|1-4|=3，b=|1-3|=2．

（2）設Q（m，n），
由題意|m-0|=2，|n-1|=1，
∴m=±2，n=2或0，
∴點Q坐標為（-2，0）或（-2，-2）或（2，0）或（2，-2）．

（3）如圖，

∵⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，點P在⊙O上，點Q（m，n）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），
∴可以假設直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，（點P、點Q的橫坐標的差的絕對值是縱坐標差的絕對值的兩倍，點P不可能在直線AB上，所以直線線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b）
①當直線PQ與⊙O相切，切點為P時，在Rt△PCO中，OP=$\sqrt{5}$，tan∠PCO=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
∴CO=$\sqrt{P{C}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∴C（-5，0），
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即Q（2，$\frac{7}{2}$），
②當直線P′Q′與⊙O相切，切點為P′時，同理可得直線P′Q′的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=1}\end{array}\right.$，即Q′（7，1）
∴滿足條件的點Q的橫坐標m的范圍是2≤m≤7．

點評 本題考查圓綜合題、一次函數的應用、切線的性質、勾股定理、二元一次方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．