Question

2．如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC
（1）求證：∠ACB=2∠BAC
（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度數．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理可得∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，再根據條件∠AOB=2∠BOC可得∠ACB=2∠BAC；
（2）設∠BAC=x°，則∠OAB=2∠BAC=2x°，再表示出∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x°，再根據三角形內角和為180°可得方程4x+2x+2x=180，再解即可得x的值，進而可得答案．

解答 （1）證明：在⊙O中，
∵∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，
∵∠AOB=2∠BOC．
∴∠ACB=2∠BAC．

（2）解：設∠BAC=x°．
∵AC平分∠OAB，
∴∠OAB=2∠BAC=2x°，
∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=2∠BAC，
∴∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x°，
在△OAB中，
∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴4x+2x+2x=180，
解得：x=22.5，
∴∠AOC=6x°=135°．

點評 此題主要考查了圓周角定理，關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．