Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，直線CG與⊙O相切于點C，CG∥AE，CG與BA的延長線交于點G，過點C作CD⊥AB于點D，交AE于點F．
（1）求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$；
（2）若∠EAB=30°，CF=a，寫出求四邊形GAFC周長的思路．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CG⊥OC．根據(jù)垂徑定理即可得到結論；
（2）連接AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CGB=30°，推出△AOC是等邊三角形，?根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF=$\frac{1}{2}a$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AG=$\sqrt{3}$a，GC=3a．于是得到結論．

解答 證明：（1）連接OC，如圖．
∵直線CG與⊙O相切于點C，
∴CG⊥OC．
∵CG∥AE，
∴AE⊥OC．
又∵OC為⊙O的半徑，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}$；

（2）解：連接AC，如圖．
?由∠EAB=30°，CG∥AE，可得∠CGB=30°，
又由直線CG與⊙O相切于點C，∠AOC=60°，
可推出△AOC是等邊三角形，
?由△AOC是等邊三角形，∠EAB=30°，CF=a，
可得∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF=$\frac{1}{2}a$，
AD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
?利用CG∥AE，可得到△ADF∽△GDC，從而推出AG=$\sqrt{3}$a，GC=3a．
故計算出四邊形GAFC的周長為5a+$\sqrt{3}$a．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．