Question

18．如圖，拋物線y=-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D為該拋物線的對稱軸上一點，當點D到直線BC和到x軸的距離相等時，則點D的坐標為$（1，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$或$（1，-2\sqrt{3}）$．．

Answer 1

分析 由題意得出A、B、C的坐標，BM=2，對稱軸x=1，點D在∠ABC或∠ABE的平分線上，再由三角函數分別求出DM即可．

解答 解：如圖所示：
∵拋物線y=-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，
∴當-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）=0時，x=-1，或x=3，
當x=0時，y=3$\sqrt{3}$，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），對稱軸x=1，
∴BM=3-1=2，
當點D到直線BC和到x軸的距離相等時，點D在∠ABC或∠ABE的平分線上，
①點D在∠ABC的平分線上時，
∵tan∠ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BM=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴D（1，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）；
②點D在∠ABE的平分線上時，∠ABE=180°-60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴DM=$\sqrt{3}$BM=2$\sqrt{3}$，
∴D（1，-2$\sqrt{3}$）；
故答案為：$（1，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$或$（1，-2\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、角平分線的判定、三角函數、勾股定理等知識；熟練掌握拋物線與x軸的交點、角平分線的判定是解決問題的關鍵．