Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，是等邊三角形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合）.直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一條直線，把沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，若直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若直線，求的面積；

（3）當(dāng)時(shí)，在直線變化過(guò)程中，求面積的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)直線交于點(diǎn)，連接交于，再證明是等邊三角形；然后再根據(jù)，、關(guān)于對(duì)稱，得到，；利用解直角三角形可以求得OD的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，解直角三角形可得OF和的長(zhǎng)即可解答；

（2）連接，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和直線可得，最后根據(jù)解答即可；

（3）作O’P⊥AB時(shí)，垂足為E，然后解三角形和線段的和差求得O’E，最后在運(yùn)用三角形的面積公式求解即可．

解：（1）設(shè)直線交于點(diǎn)，連接交于，

∵，

∴，，

∴是等邊三角形，

∵，，關(guān)于對(duì)稱，

∴，

∵，

∴，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，可得，

，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）連接，

∵，關(guān)于直線對(duì)稱，

∴直線，

∵直線，

∴，

∴.

（3）當(dāng)O’P⊥AB時(shí)，垂足為E，的面積最大

如圖：作O’P⊥AB時(shí)，垂足為E

在Rt△BPE中，PA=2.∠B=60°

∴PE=PA·sin60°=

∴O’E=6+.

∴面積的最大值：.