Question

【題目】如圖，拋物線與軸負半軸交于點，與軸正半軸交于點，與軸負半軸交于點，，，．

（1）求點的坐標和拋物線的函數關系式；

（2）點是上一點（不與點、重合），過點作軸的垂線，交拋物線于點，交于點，當時，求點的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸交軸于點，在（2）的條件下，點是拋物線對稱軸上一點，點是坐標平面內一點，是否存在點、，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在， ，，

【解析】

(1)先證明，利用相似三角形的性質得到，求出C點的坐標，再用待定系數法即可得到拋物線的函數關系式；

(2) 設直線函數關系式為，用待定系數法求出直線函數關系式，再假設D點的坐標，根據題意得到求解即可得到答案；

(3)根據勾股定理得到，再分情況討論即可得到答案．

解（1）由題意，，，，

∵

∴，

，

∴

∴

∴

∴

∴

分別把，，代入得

解得，，，

∴

（2）設直線函數關系式為

代入，得，解得，，

∴

設

∴，

∴，

由題意

解得，，（舍去）

將代入，得

∴

（3）存在

當以、、、為頂點的四邊形是菱形時，是等腰三角形．

由題意，，，

在中，由勾股定理的，

①時，

∵點到直線的距離是

∴此時點不存在．

②時，如圖

作于點，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴或

∴，

③當時，

即

設，

解得

∴

綜上，，，

此時，，，．