Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=4，D為BC邊的中點，點E在BC邊的延長線上，且CE=BC，連接AE，F為線段AE的中點
（1）求線段CF的長；
（2）求∠CAE的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接AD，

∵AB=AC，且D為BC中點，BC=4，

∴AD⊥BC，BD=CD=2，

∵tanB= =2，

∴AD=BDtanB=4，

∴AB=AC= = =2 ，

又∵BC=CE，AF=EF，

∴CF= AB=

（2）解：如圖，過點C作CM⊥AE于點M，

∴∠AMC=∠EMC=90°，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE= = =2 ，

∵由勾股定理得；CM2=AC2﹣AM2=CE2﹣EM2，

∴（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2，

解得：AM= ，

CM= = = ，

∴∠CAE的正弦值是 = =

【解析】（1）連接AD，由等腰三角形三線合一性質可得AD⊥BC，BD=CD=2，根據tanB= =2可得AD=4，由勾股定理得AB=AC=2 ，根據BC=CE、AF=EF即可得CF= AB．（2）過C作CM⊥AE于M，則∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2 ， 求出AM，求出CM，即可求出答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法))的相關知識才是答題的關鍵．