Question

【題目】課本的作業題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法． 我們有多少種剪法，圖1是其中的一種方法：

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．
（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；
（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖2作圖，

（2）解：如圖3 ①、②作△ABC．

①當AD=AE時，

∵2x+x=30+30，

∴x=20．

②當AD=DE時，

∵30+30+2x+x=180，

∴x=40．

所以∠C的度數是20°或40°

（3）解：如圖4，CD、AE就是所求的三分線．

設∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，

此時△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，

設AE=AD=x，BD=CD=y，

∵△AEC∽△BDC，

∴x：y=2：3，

∵△ACD∽△ABC，

∴2：x=（x+y）：2，

所以聯立得方程組 ，

解得 ，

即三分線長分別是 和 ．

【解析】（1）45°自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點作對邊的高，發現形成一個等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形，則易得一種情況．第二種情形可以考慮題例中給出的方法，試著同樣以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底腳被分為45°和22.5°，再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形．即又一三分線作法．（2）用量角器，直尺標準作30°角，而后確定一邊為BA，一邊為BC，根據題意可以先固定BA的長，而后可確定D點，再標準作圖實驗﹣﹣分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC．根據圖形易得x的值．（3）因為∠C=2∠B，作∠C的角平分線，則可得第一個等腰三角形．而后借用圓規，以邊長畫弧，根據交點，尋找是否存在三分線，易得如圖4圖形為三分線．則可根據外角等于內角之和及腰相等等情況列出等量關系，求解方程可知各線的長．