Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當S△ABE=S△ABC時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x﹣5；(2)E點坐標為（﹣2，﹣5）；(3)存在滿足條件的點P，其橫坐標為或

．

【解析】

（1）把A、B兩點的坐標代入，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）當S△ABE=S△ABC時，可知E點和C點的縱坐標相同，可求得E點坐標；（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點D，可求得ED和AD的長度，設出點P坐標，過P作PQ⊥x軸于點Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應邊可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

（1）把A、B兩點坐標代入解析式可得，，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣5；

（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∵S△ABE=S△ABC，且E點在x軸下方，

∴E點縱坐標和C點縱坐標相同，

當y=﹣5時，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），

∴E點坐標為（﹣2，﹣5）；

（3）假設存在滿足條件的P點，其坐標為（m，m2+m﹣5），

如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點D，過P作PQ⊥x軸于點Q，

則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，

在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=，∠ACO=∠DCE=45°，

由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，

∴AD=AC﹣DC=﹣=4，

當∠BAP=∠CAE時，則△EDA∽△PQA，

∴，即=，

∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），

當m2+m﹣5=（5+m）時，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（與A點重合，舍去），

當m2+m﹣5=﹣（5+m）時，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（與A點重合，舍去），

∴存在滿足條件的點P，其橫坐標為或．