Question

【題目】在平面直角坐標系中，點Q為坐標系上任意一點，某圖形上的所有點在∠Q的內部（含角的邊），這時我們把∠Q的最小角叫做該圖形的視角．如圖1，矩形ABCD，作射線OA，OB，則稱∠AOB為矩形ABCD的視角．
（1）如圖1，矩形ABCD，A（﹣ ，1），B（ ，1），C（ ，3），D（﹣ ，3），直接寫出視角∠AOB的度數；
（2）在（1）的條件下，在射線CB上有一點Q，使得矩形ABCD的視角∠AQB=60°，求點Q的坐標；
（3）如圖2，⊙P的半徑為1，點P（1， ），點Q在x軸上，且⊙P的視角∠EQF的度數大于60°，若Q（a，0），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，設AB交y軸于E．

∵A（﹣ ，1），B（ ，1），

∴OE⊥AB，EA=EB，

∴OA=OB，

在Rt△OAE中，tan∠OAE= ，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠AOB=120°

（2）解：如圖2中，連結AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結AQ．

∵AB=2 ，BC=2，

∴AC=4，

∴∠ACQ=60°．

∴△ACQ為等邊三角形，

即∠AQC=60°，

∵CQ=AC=4，

∴Q（ ，﹣1）

（3）解：如圖3中，當點Q與點O重合時，設⊙P與y軸相切于點E，OF是⊙P的切線，

∵P（1， ），

∴PE=1，OE= ，

∴tan∠POE= ，

∴∠POE=∠POF=30°

∴∠EQF=60°，此時Q（0，0），

如圖4，根據對稱性可知，當FQ⊥x軸時，∠EQF=60°，

∴Q（2，0），

∴a的取值范圍是0＜a＜2．

【解析】（1）如圖1中，設AB交y軸于E．首先證明OA=OB，在Rt△AEO中，求出∠OAE的度數即可．（2）如圖2中，連結AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結AQ．只要證明△ACQ是等邊三角形即可解決問題．（3）如圖3中，當點Q與點O重合時，設⊙P與y軸相切于點E，OF是⊙P的切線，可以證明∠EQF=60°，此時Q（0，0），如圖4，根據對稱性可知，當FQ⊥x軸時，∠EQF=60°，此時Q（2，0），由此即可解決問題．