Question

【題目】如圖(1)我們知道等腰直角三角形的三邊的比AC:BC:AB=1:1： ，含有30度的直角三角形的三邊之比AC:BC:AB=1∶∶2.如圖(2)，分別取反比例函數， 圖象的一支，Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y軸于C，∠AOC=60°，點A,點B分別在這兩個圖像上。

（1）填空: K1=-__________，K2=______________.

（2）將△AOC沿y軸折疊得△DOC，如圖所示。

①試判斷D點是否存在的圖象上，并說明理由．

②在y軸上找一點N，使得|BN-DN|的值最大，求出點N的坐標。

③連接BD，求S四邊形OCBD．

（3）將Rt△AOB繞著原點順時針旋轉一周，速度是5°/秒。問：經過多少秒，直線AB與圖中分支的對稱軸或者與圖中分支的對稱軸平行。直接寫出結果。

Answer 1

【答案】（1）K1=，K2=（2）①算出D（），在圖像上②N（0， ）③（3）12,48，30,66

【解析】試題分析：

（1）如圖1，過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，由已知條件即可求得AE、OD、BF和OF的長，結合點A和點B所處象限即可得到點A、B的坐標，這樣即可求得k1和k2的值了；

（2）①由點A的坐標可得點D的坐標，將點D的坐標代入中檢驗即可得出結論；

②如圖2，延長DB交y軸于點N，此時|BN-DN|的值最大，由B、D的坐標用待定系數法求出直線BD的解析式，再由解析式即可求得直線BD與y軸的交點N的坐標了；

③由AB的坐標求出直線AB的解析式，由此求出點C的坐標，再過點B作y軸的垂線，過點D作x軸的垂線，利用兩垂線與兩坐標軸圍成一個矩形結合已知條件即可求出四邊形OCBD的面積了；

（3）如圖3，兩個反比例函數圖象的分支的對稱軸分別是直線l1和l2，它們與x軸相交形成的銳角度數都是45°，由圖可知，當△AOB繞點O順時針旋轉60°和240°時，AB與l2平行，當旋轉150°和330°時，AB和l1平行，由此結合旋轉速度為5°/秒即可求得對應的時間了.

試題解析：

（1）如圖1，過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，

∴∠AEO=∠BFO=90°，

∵∠AOC=60°，

∴∠AOE=30°，∠BOF=30°，

∴AE：OE：OA=BF：OF：OB=1∶∶2，

又∵∵OA=OB=2，

∴AE=BF=1，OE=OF=，

∴點A、B的坐標分別為和，

∴， ；

（2）①∵點D和點A關于y軸對稱，

∴點D的坐標為，

∴，

∴點D在的圖象上；

②延長DB交y軸于點N，此時|BN-DN|的值最大，

設直線BD的解析式為，則由B、D的坐標可得： ，

解得： ，

∴BD的解析式為： ，

∴點N的坐標為；

③設直線AB的解析式為，

∵點A、B的坐標分別為和，

∴ ，解得 ，

∵直線AB與y軸相交于點C，

∴點C的坐標為，

如圖2，過點B作BF⊥y軸于點F，過點D作DQ⊥x軸于點Q，FB與DQ相交于點P，

∵點B、D的坐標分別為， ，

∴S四邊形OCBD=S矩形OFPQ-S△CFB-S△BDP-S△ODQ

=

=

=；

（3）如圖3，由題意可知，兩個反比例函數圖象的分支的對稱軸分別是直線l1和l2，它們與x軸相交形成的銳角度數都是45°，

由圖結合∠AOC=60°可知，當△AOB繞點O順時針旋轉60°和240°時，AB與l2平行，當旋轉150°和330°時，AB和l1平行，

又∵△AOB繞點O旋轉的速度為5°/秒，

∴60÷5=12（秒），150÷5=30（秒），240÷5=48（秒），330÷5=66（秒），

∴當△AOB繞點O旋轉12秒、30秒、48秒和66秒時，AB和兩個反比例函數圖象的一個分支的對稱軸平行.