Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點M在⊙O上，∠MBA=20°，N是$\widehat{MA}$的中點，P是直徑AB上的一動點，若AN=1，則△PMN周長的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 作N關于AB的對稱點N′，由兩點之間線段最短可知MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點，根據N是弧MB的中點可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′為等邊三角形，由此可得出結論．

解答 解：過N作NN′⊥AB，交AB于G，交⊙O于N′，連接MN′交AB于P′，連接NN′，ON′，ON，MN，P′N，
∴NG=N′G，
∴N、N′關于AB對稱，
∴MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點，
∵N是弧MB的中點，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′為等邊三角形，
∴MN′=OM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴△PMN周長的最小值為3+1=4．
故選：B．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路徑問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．