Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，△AEF為等腰直角三角形，∠AEF＝90°，連接FC，G為FC的中點，連接GD，ED．

（1）如圖①，E在AB上，直接寫出ED，GD的數量關系．

（2）將圖①中的△AEF繞點A逆時針旋轉，其它條件不變，如圖②，（1）中的結論是否成立？說明理由．

（3）若AB＝5，AE＝1，將圖①中的△AEF繞點A逆時針旋轉一周，當E，F，C三點共線時，直接寫出ED的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝DG；（2）成立，理由見解析；（3）DE的長為4或3．

【解析】

（1）根據題意結論：DE=DG，如圖1中，連接EG，延長EG交BC的延長線于M，連接DM，證明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再證明△DCM≌△DAE（SAS）即可解決問題；

（2）如圖2中，結論成立．連接EG，延長EG到M，使得GM=GE，連接CM，DM，延長EF交CD于R，其證明方法類似；

（3）由題意分兩種情形：①如圖3-1中，當E，F，C共線時．②如圖3-3中，當E，F，C共線時，分別求解即可．

解：（1）結論：DE＝DG．

理由：如圖1中，連接EG，延長EG交BC的延長線于M，連接DM．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

∵∠AEF＝∠B＝90°，

∴EF∥CM，

∴∠CMG＝∠FEG，

∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，

∴△CMG≌△FEG（AAS），

∴EF＝CM，GM＝GE，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DCM≌△DAE（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，

∴△EGD是等腰直角三角形，

∴DE＝DG．

（2）如圖2中，結論成立．

理由：連接EG，延長EG到M，使得GM＝GE，連接CM，DM，延長EF交CD于R．

∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，

∴△CGM≌△FGE（SAS），

∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，

∴CM∥ER，

∴∠DCM＝∠ERC，

∵∠AER+∠ADR＝180°，

∴∠EAD+∠ERD＝180°，

∵∠ERD+∠ERC＝180°，

∴∠DCM＝∠EAD，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DAE≌△DCM（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∵EG＝GM，

∴DG＝EG＝GM，

∴△EDG是等腰直角三角形，

∴DE＝DG．

（3）①如圖3﹣1中，當E，F，C共線時，

在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，

在Rt△AEC中，EC＝＝＝7，

∴CF＝CE﹣EF＝6，

∴CG＝CF＝3，

∵∠DGC＝90°，

∴DG＝＝＝4，

∴DE＝DG＝4．

②如圖3﹣3中，當E，F，C共線時，同法可得DE＝3．

綜上所述，DE的長為4或3．