Question

如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P,連結AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點E、F.
 
（1） 如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在      關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；
（2）如圖2，設∠ABP=β . 當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合. 已知AB=4，設DP=x，△A₁BB₁的面
積為S，求S關于x的函數關系式.

Answer 1

（1） 相似。理由見解析（2）存在，α=2β+60°（3）

解:（1） 相似   …………………………………………………………1分
由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α   AP= A₁P BP=B₁P
則 ∠PAA₁ =∠PBB₁ = ……………………………2分
∵∠PBB₁ =∠EBF       ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP………………………………………………………3分
（2）存在，理由如下： ………………………………………………………4分
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可 …………………5分
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60°      ∴∠BAE=
∵∠ABE=β  ∠BAE=∠ABE    ………………………………6分
∴ 即α=2β+60°    ………………………………7分
（3）連結BD，交A₁B₁于點G，
過點A₁作A₁H⊥AC于點H.
∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60°∴A₁B₁∥AC
由題意得：AP= A₁ P  ∠A=60°
∴△PAA₁是等邊三角形
∴A₁H= ………………………8分
在Rt△ABD中，BD=
∴BG=……………………………… 9分
∴ （0≤x＜2）………………10分
（1）通過三角形的相似性求證
（2）由（1）得△BEF ∽△AEP，若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE，即∠BAE=∠ABE，求得∠BAE的度數的表示，即可求出α與β之間的數量關系
（3）連結BD，交A₁B₁于點G，過點A₁作A₁H⊥AC于點H.由已知求得△PAA₁是等邊三角形，在Rt△ABD中，求得BG的長，從而通過三角形的面積，即可求得S關于x的函數關系式