Question

【題目】如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現有如下結論：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正確的結論有（ ）

A. 4 個 B. 3 個 C. 2 個 D. 1 個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，結合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，據此知 HC＜EC，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根據 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判斷③；求出∠FEC＜45°，根據相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判斷④．

解：∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BC＝CD，

∵AG＝GE，

∴BG＝BE，

∴∠BEG＝45°，

∴∠BEA＞45°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠HEC＜45°，

∴HC＜EC，

∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即 DH＞BE，故①錯誤；

∵BG＝BE，∠B＝90°，

∴∠BGE＝∠BEG＝45°，

∴∠AGE＝135°，

∴∠GAE+∠AEG＝45°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∵∠BEG＝45°，

∴∠AEG+∠FEC＝45°，

∴∠GAE＝∠FEC，

在△GAE 和△CEF 中，

∵AG=CE，

∠GAE=∠CEF,

AE=EF,

∴△GAE≌△CEF（SAS））,

∴②正確；

∴∠AGE＝∠ECF＝135°，

∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，

∴③正確；

∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，

∴∠FEC＜45°，

∴△GBE 和△ECH 不相似，

∴④錯誤；

故選：C．