Question

【題目】在Rt△ACB中，C為直角頂點，∠ABC＝25°，O為斜邊AB的中點，將OA繞著點O逆時針旋轉α(0°＜α＜180°)到OP．當△BCP為等腰三角形時，α的度數為________．

Answer 1

【答案】50°或80°或65°

【解析】

如圖1，連接AP，根據直角三角形的判定和性質得到∠APB=90°，當BC=BP時，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×25°=50°，當BC=PC時，如圖2，連接CO并延長交PB于H，根據線段垂直平分線的性質得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根據等腰三角形的性質得到θ=2×40°=80°，當PB=PC時，如圖3，連接PO并延長交BC于G，連接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根據三角形的內角和得到θ=∠BOG=65°．

∵△BCP恰為軸對稱圖形，

∴△BCP是等腰三角形，

如圖1，連接AP，

∵O為斜邊中點，OP=OA，

∴BO=OP=OA，

∴∠APB=90°，

當BC=BP時，

∴∠BCP=∠BPC，

∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，

∴∠ACP=∠APC，

∴AC=AP，

∴AB垂直平分PC，

∴∠ABP=∠ABC=25°，

∴θ=2×25°=50°，

當BC=PC時，如圖2，連接CO并延長交PB于H，

∵BC=CP，BO=PO，

∴CH垂直平分PB，

∴∠CHB=90°，

∵OB=OC，

∴∠BCH=∠ABC=25°，

∴∠CBH=65°，

∴∠OBH=40°，

∴θ=2×40°=80°，

當PB=PC時，如圖3，連接PO并延長交BC于G，連接OC，

∵∠ACB=90°，O為斜邊中點，

∴OB=OC，

∴PG垂直平分BC，

∴∠BGO=90°，

∵∠ABC=25°，

∴θ=∠BOG=65°，

綜上所述：當△BCP恰為軸對稱圖形時，θ的值為50°或65°或80°，

故答案為：50°或65°或80°．