Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y＝﹣x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是直線CD上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E，設點P的橫坐標為m．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求PE的長最大時m的值．

(3)Q是平面直角坐標系內一點，在(2)的情況下，以PQCD為頂點的四邊形是平行四邊形是否存在？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）當m=時，PE最長；（3）點Q的坐標為（，）、（﹣，）或（，﹣）．

【解析】

（1）由點A，B的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的解析式；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點C，D的坐標，進而可得出0＜m＜4，由點P的橫坐標為m可得出點P，E的坐標，進而可得出PE=﹣m2m+2，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）分PE為對角線、PC為對角線、CD為對角線三種情況考慮，由平行四邊形的性質（對角線互相平分）結合點P，C，D的坐標可求出點Q的坐標，此題得解．

（1）將A（﹣1，0），B（5，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5．

（2）∵直線yx+3與y軸交于點C，與x軸交于點D，∴點C的坐標為（0，3），點D的坐標為（4，0），∴0＜m＜4．

∵點P的橫坐標為m，∴點P的坐標為（m，﹣m2+4m+5），點E的坐標為（m，m+3），∴PE=﹣m2+4m+5﹣（m+3）=﹣m2m+2=﹣（m）2．

∵﹣1＜0，04，∴當m時，PE最長．

（3）由（2）可知，點P的坐標為（）．

以PQCD為頂點的四邊形是平行四邊形分三種情況（如圖所示）：

①以PD為對角線．

∵點P的坐標為（），點D的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，3），∴點Q的坐標為（4﹣0，0﹣3），即（）；

②以PC為對角線．

∵點P的坐標為（），點D的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，3），∴點Q的坐標為（0﹣4，3﹣0），即（）；

③以CD為對角線．

∵點P的坐標為（），點D的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，3），∴點Q的坐標為（0+4，3+0），即（）．

綜上所述：在（2）的情況下，存在以PQCD為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標為（）、（）或（）．