Question

【題目】如圖，等腰直角△OEF在坐標系中，有E(0，2)，F(﹣2，0)，將直角△OEF繞點E逆時針旋轉90°得到△ADE，且A在第一象限內，拋物線y=ax2+bx+c經過點A，E．且2a+3b+5=0．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過ED的中點O'作O'B⊥OE于B，O'C⊥OD于C，求證：OBO'C為正方形．

（3）如果點P由E開始沿EA邊以每秒2厘米的速度向點A移動，同時點Q由點A沿AD邊以每秒1厘米的速度向點D移動，當點P移動到點A時，P，Q兩點同時停止，且過P作GP⊥AE，交DE于點G，設移動的開始后為t秒．

①若S=PQ2(厘米)，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍？

②當S取最小時，在拋物線上是否存在點R，使得以P，A，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）①S=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；②點R的坐標為：(，)或(，)．

【解析】

（1）根據題意結合旋轉的性質得出A點坐標，再根據E點坐標得出c的值，最后進一步求解即可；

（2）根據題意先證明OBO'C為矩形，再利用三角形中位線性質結合題意得出O'B=OC'，據此進一步證明即可；

（3）根據題意列出關系式加以化簡即可；②根據題意分AP是邊時以及PA是對角線時兩種情況進一步分析討論即可．

（1）∵E、F坐標分別為：E(0，2)，F(﹣2，0)，

∴OF=OE=2，

根據旋轉性質可得：AE=OE=2，AD=OF=2，

∴點A坐標為：(2，2)，

將點E的坐標代入拋物線表達式并整理得： c=2，

又∵A點坐標為：(2，2)，

∴4a+2b=0，

而2a+3b+5=0，

將上述二式聯立并解得：a= ，b=-，

故拋物線的表達式為：；

（2）如圖所示，

∵O'B⊥OE，O'C⊥OD，∠EOD=90°，故OBO'C為矩形，

又∵O'是ED的中點，O'B⊥OE，

則O'B=OD，

∵O'C⊥OD，

∴同理可得：O'C=OE，

∵OE=OD，

∴O'B=OC'

∴OBO'C為正方形；

（3）①點P、Q的坐標分別為：(2t，2)、(2，2﹣t)，

S=PQ2=(2t﹣2)2+(t)2=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；

②S=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；

∵5＞0，故S有最小值，此時t=，

則點P、Q的坐標分別為：(，2)、(2，)，而點A(2，2)，

設：點R(m，n)，n=m2﹣m+2；

(Ⅰ)當AP是邊時，

點P向右平移個單位得到A，

同樣點Q(R)向右平移個單位得到R(Q)，

即2=m，解得：m=或，

故點R(，)或(，)；

(Ⅱ)當PA是對角線時，

由中點公式得：2+=m+2，

解得：m=，故點R(，)；

綜上，點R的坐標為：(，)或(，)．