Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．點P從點A出發，以5cm/s的速度從點A運動到終點B；同時，點Q從點C出發，以3cm/s的速度從點C運動到終點B，連結PQ；過點P作PD⊥AC交AC于點D，將△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB為鄰邊作A′PBE，A′E交射線BC于點F，交射線PQ于點G．設A′PBE與四邊形PDCQ重疊部分圖形的面積為Scm2，點P的運動時間為ts．

（1）當t為何值時，點A′與點C重合；

（2）用含t的代數式表示QF的長；

（3）求S與t的函數關系式；

（4）請直接寫出當射線PQ將A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1：3時t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=1（2）當0＜t≤時，QF=6﹣9t；當＜t＜2時，QF=9t﹣6．

當0＜t≤時，S=12t2；當＜t≤1時，S=﹣42t2+72t﹣24：當1＜t＜2時，S=6t2﹣24t+24．

t的值為秒或秒．

【解析】

（1）易證△ADP∽△ACB，從而可得AD=4t，由折疊可得AA′=2AD=8t，由點A′與點C重合可得8t=8，從而可以求出t的值．

（2）根據點F的位置不同，可分點F在BQ上（不包括點B）、在CQ上（不包括點Q）、在BC的延長線上三種情況進行討論，就可解決問題．

（3）根據點F的位置不同，可分點F在BQ上（不包括點B）、在CQ上（不包括點Q）、在BC的延長線上三種情況進行討論，就可解決問題．

（4）可分①S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，如圖7，②S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，如圖8，兩種情況進行討論，就可解決問題．

試題

試題解析：（1）如圖1，

由題可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．

∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．

∵∠ADP=∠ACB=90°，

∴PD∥BC．

∴△ADP∽△ACB．

∴．

∴．

∴AD=4t，PD=3t．

∴AA′=2AD=8t．

當點A′與點C重合時，AA′=AC．

∴8t=8．

∴t=1．

（2）①當點F在線段BQ上（不包括點B）時，如圖1，

則有CQ≤CF＜CB．

∵四邊形A′PBE是平行四邊形，

∴A′E∥BP．

∴△CA′F∽△CAB．

∴ ．

∴．

∴CF=6﹣6t．

∴3t≤6﹣6t＜6．

∴0＜t≤ ．

此時QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t．

②當點F在線段CQ上（不包括點Q）時，如圖2，

則有0≤CF＜CQ．

∵CF=6﹣6t，CQ=3t，

∴0≤6﹣6t＜3t．

∴＜t≤1．

此時QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6．

③當點F在線段BC的延長線上時，如圖3，

則有AA′＞AC，且AP＜AB．

∴8t＞8，且5t＜10．

∴1＜t＜2．

同理可得：CF=6t﹣6．

此時QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．

綜上所述：當0＜t≤時，QF=6﹣9t；當＜t＜2時，QF=9t﹣6．

（3）①當0＜t≤時，

過點 A′作A′M⊥PG，垂足為M，如圖4，

則有A′M=CQ=3t．

∵，

∴，

∵∠PBQ=∠ABC，

∴△BPQ∽△BAC．

∴∠BQP=∠BCA．

∴PQ∥AC．

∵AP∥A′G．

∴四邊形APGA′是平行四邊形．

∴PG=AA′=8t．

∴S=S△A′PG=PGA′M

=×8t×3t=12t2．

②當＜t≤1時，

過點 A′作A′M⊥PG，垂足為M，如圖5，

則有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．．

∴S=S△A′PG﹣S△GQF

=PGA′M﹣QGQF

=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）

=﹣42t2+72t﹣24．

③當1＜t＜2時，如圖6，

∵PQ∥AC，PA=PA′

∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．

∴∠BPQ=∠QPA′．

∵∠PQB=∠PQS=90°，

∴∠PBQ=∠PSQ．

∴PB=PS．

∴BQ=SQ．

∴SQ=6﹣3t．

∴S=S△PQS=PQQS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t2﹣24t+24．

綜上所述：當0＜t≤時，S=12t2；當＜t≤1時，S=﹣42t2+72t﹣24：當1＜t＜2時，S=6t2﹣24t+24．

（4）①若S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，

過點A′作A′M⊥PG，垂足為M，過點A′作A′T⊥PB，垂足為T，如圖7，

則有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．

∴S△A′PG=×8t×3t=12t2．

∵S△APA′=APA′T=AA′PD，

∴A′T=

∴SPBEA′=PBA′T=（10﹣5t）×=24t（2﹣t）．

∵S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，

∴S△A′PG=×SPBEA′．

∴12t2=×24t（2﹣t）．

∵t＞0，

<>∴t=．

②若S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，如圖8，

同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6﹣3t，PQ=8﹣4t，SPBEA′=24t（2﹣t）．

∵四邊形PBEA′是平行四邊形，

∴BE∥PA′．

∴∠BNP=∠NPA′．

∴∠BPN=∠BNP．

∴BP=BN．

∵∠BQP=∠BQN=90°，

∴PQ=NQ．

∴S△BPN=PNBQ=PQBQ

=（8﹣4t）×（6﹣3t）．

∵S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，

∴S△BPN=×SPBEA′．

∴（8﹣4t）×（6﹣3t）=×24t（2﹣t）．

∵t＜2，

∴t=．

綜上所述：當射線PQ將A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1：3時，t的值為秒或秒．