Question

【題目】如圖，是的角平分線，點，分別在，上，且，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若，，求平行四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由BD是△ABC的角平分線，DE∥AB，易證得BE＝DE，又由BE＝AF，可得DE＝AF，即可證得四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）首先過點D作DG⊥AB于G，過點E作EH⊥BD于H，由∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分線，可求得DG的長，然后根據勾股定理求得BE的長，則可求得答案．

（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠ABD＝∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∵BE＝AF，

∴AF＝DE，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）解：過點D作DG⊥AB于G，過點E作EH⊥BD于H，

∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABD＝∠EBD＝30°，

∴DG＝BD＝，

∵BE＝DE，

∴BH＝DH＝，

設EH＝x，則BE＝2x，

∴，

∴（舍去負值），

∴DE＝BE＝2x＝4，

∴平行四邊形ADEF的面積＝DEDG＝4×．