Question

【題目】如圖，在面積為3的△ABC中，AB=3，∠BAC=45°，點D是BC邊上一點．

（1）若AD是BC邊上的中線，求AD的長；

（2）點D關于直線AB和AC的對稱點分別為點M、N，求AN的長度的最小值；

（3）若P是△ABC內的一點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）作CE，DF分別垂直于AB于點E，F，已知CE⊥AB，S△ABC=3，∠BAC=45°，可得AE=CE=2，BE=1，因為DF∥CE，AD是BC邊上的中線，可得BF=EF=，在Rt△AFD中利用勾股定理即可求出AD的長．

（2）在Rt△BEC中，求得BC，當AD⊥CB時，AN=AD最小，根據等面積法，即可求出AD．

（3）將△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAC=135°，作EH⊥BA交BA的延長線于H．在Rt△EAH中，可得EH=AH=2，在Rt△EHC中，求得EC，，的最小值即為CE的值．

（1）作CE，DF分別垂直于AB于點E，F

∵CE⊥AB，S△ABC=3，∠BAC=45°

∴，BE=1，

∵CE，DF分別垂直于AB于點E，F

∴DF∥CE

又∵AD是BC邊上的中線

∴，

∴AF=

在Rt△AFD中，

∴

（2）在Rt△BEC中，BC=

當AD⊥CB時，AN=AD最小

根據等面積法，

得AN=

故答案為：

（3）將△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAC=135°，作EH⊥BA交BA的延長線于H．

在Rt△EAH中，

∵∠H=90°，∠EAH=45°，

∴EH=AH=2，

在Rt△EHC中，

∴的最小值為．