Question

【題目】“構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：

實例一：1876年，美國總統伽非爾德利用實例一圖證明了勾股定理：由

S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化簡得：

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關于x的方程的圖解法是：

畫Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜邊AB上截取BD＝，則AD的長就是該方程的一個正根(如實例二圖)

請根據以上閱讀材料回答下面的問題：

(1)如圖1，請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數學公式是 ，乙圖要證明的數學公式是

(2)如圖2，若2和-8是關于x的方程x2+6x＝16的兩個根，按照實例二的方式構造Rt△ABC，連接CD，求CD的長；

(3)若x，y，z都為正數，且x2+y2＝z2，請用構造圖形的方法求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）；（3）

【解析】

（1）利用面積法解決問題即可；

（2）如圖2，作于點H，由題意可得出，利用面積求出的長，再利用勾股定理求解即可；

（3）如圖3，用4個全等的直角三角形（兩直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形，當時定值，z最小時，的值最大值．易知，當小正方形的頂點是大正方形的中點時，z的值最小，此時，，據此求解即可．

解：（1）圖1中甲圖大正方形的面積

乙圖中大正方形的面積

即

∴甲圖要證明的數學公式是完全平方公式，乙圖要證明的公式是平方差公式；

故答案為：完全平方公式；平方差公式；

（2）如圖2，作于點H，

根據題意可知，

根據三角形的面積可得：

解得：

根據勾股定理可得：

根據勾股定理可得：；

（3）如圖3，用4個全等的直角三角形（兩直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形

當時定值，z最小時，的值最大值

易知，當小正方形的頂點是大正方形的中點時，z的值最小，此時，，

∴的最大值為．