Question

【題目】閱讀，我們可以用換元法解簡單的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0時，可設y＝x2，則原方程可比為y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，當y1＝2時，則x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；當y2＝1時，即x2＝1，則x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答：

(1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3＝0，設y＝2x2+1，則原方程可化為_______.

(2)仿照上述解法解方程：(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0.

Answer 1

【答案】(1)y2+y﹣4＝0；(2)x＝2或x=0或x＝﹣1或x=3.

【解析】

（1）利用完全平方公式可把原式變為(2x2+1)2+2x2+1﹣4＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4，然后用y代替式子中的2x2+1．

（2）(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0即(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝0．可以把x2﹣2x當作整體，設x2﹣2x＝y，原方程即可變形為關于y的方程，即可求得y的值，因而求得x的值．

（1）設y＝2x2+1，

則原方程左邊＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4＝y2+y﹣4．

∴原方程可化為y2+y﹣4＝0．

故答案為：y2+y﹣4＝0．

（2）設x2﹣2x＝y，

則原式左邊＝(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝y2﹣3y；

∴y2﹣3y＝0，

∴y(y﹣3)＝0，

∴y＝0或3．

當y＝0時，則x2﹣2x＝0，

∴x(x﹣2)＝0，

∴x＝2或0；

當y＝3時，則x2﹣2x＝3，

∴x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或3．

故方程的解為x＝3或x＝2或x＝0或x＝﹣1．