Question

【題目】如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，連接BE，P為BE的中點，連接PD、AD

（1）為了研究線段AD與PD的數量關系，將圖1中的△EDC繞點C旋轉一個適當的角度，使CE與CA重合，如圖2，請直接寫出AD與PD的數量關系；

（2）如圖1，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，若∠ACD＝45°，求△ACD的面積．

Answer 1

【答案】（1）AD＝2PD；（2）成立，理由見解析；（3）

【解析】

(1)利用直角三角形30度角的性質即可解決問題．

(2)結論成立．如圖1中，延長ED到F，使得DF=DE，連接BF，CF．利用三角形的中位線定理證明BF=2PD，再證明AD=BF即可解決問題．

(3)如圖1中，延長BF交AD于G，由(2)得到∠FBC=∠DAC，首先證明∠ADP=60°，解直角三角形求出AD2即可解決問題．

(1)如圖2中，

等邊△ABC中，∠BAC=60°，

等腰三角形△EDC中，∠ADC=120°，

∴∠DAC=∠CAD=30°，

∴∠DAP=∠BAC -∠DAC=30°，

∠PDA=180 -∠ADC=60°，

∴∠APD=90°，

∴在Rt△APD中， AD=2PD；

(2)結論成立．

理由：如圖1中，延長ED到F，使得DF=DE，連接BF，CF．

∵BP=EP，DE=DF，

∴BF=2PD，BF∥PD，

∵∠EDC=120°，

∴∠FDC=60°，

∵DF=DE=DC，

∴△DFC是等邊三角形，

∵CB=CA，∠BCA=∠DCF=60°，

∴∠BCF+∠ACF =∠ACD+∠ACF=60°，

∴∠BCF=∠ACD，

∵CF=CD，

∴△BCF≌△ACD(SAS)，

∴BF=AD，

∴AD=2PD．

(3)如圖3中，作DM⊥AC于M， DG⊥EC于G．

在等腰△CDE中，

∵CE=2，∠CDE=120°，CD=DE，

∴CG=GE=，∠DCE=30°，

∴CD=DE=2，

∵∠ACD=45°，

∴CM=DM=2，

S△CAD=．