Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D在CO的延長線上，連接BD．已知BC＝BD，AB＝4．

（1）若BC＝2，求證：BD是⊙O的切線；

（2）BC＝3，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD＝．

【解析】

（1）先證∠ACB＝90°，再求出sinA的值，求得∠A＝60°，得到△AOC為等邊三角形，再求得∠BCD＝30°，利用三角形內角和定理即可得出結論；

（2）先求出半徑，再證∠BCD＝∠D，∠D＝∠OBC，即可證得△BCD∽△OCB，列比例式把數值帶入即可求出CD的長．

解：（1）∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵sinA＝＝，

∴∠A＝60°，

∵AO＝CO，

∴△AOC為等邊三角形，

∴∠AOC＝∠ACO＝60°，

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACO＝90°﹣60°＝30°，

∵∠BOD＝∠AOC＝60°，

∴∠OBD＝180°﹣（∠BOD+∠D）＝90°，

∴OB⊥BD，

則BD為圓O的切線；

（2）∵AB為圓O的直徑，且AB＝4，

∴OB＝OC＝2，

∵BC＝BD，

∴∠BCD＝∠D，

∵OC＝OB，

∴∠BCD＝∠OBC，

∴∠D＝∠OBC，

在△BCD和△OCB中，

∠D＝∠OBC，∠BCD＝∠OCB，

∴△BCD∽△OCB，

∴，即，

則CD＝．