Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AC的延長線相交于點 F，且AC=8，tan∠BDC=．
 
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求線段CF長．

Answer 1

（1）5 ； （2）

（1）作OH⊥AC于H，則AH=AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=，
∴OH=3，
∴半徑OA==5；
（2）∵AB⊥CD，

∴E為CD的中點，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=，
設CE=3k，則AE=4k，
根據勾股定理得：AC²=CE²+AE²，即9k²+16k²=64，
解得：k=，
則CE=DE=，AE=，
∵BF為圓O的切線，
∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，
∴CE∥FB，
∴=，即=，
解得：AF=，
則CF=AF﹣AC=．