Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0
（1）當m為何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有兩個不相等的實數根，

∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，

解得：m＞﹣ ．

∴當m＞﹣ 時，方程有兩個不相等的實數根

（2）解：設方程的兩根分別為a、b，

根據題意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．

∵2a、2b為邊長為5的菱形的兩條對角線的長，

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，

解得：m=﹣4或m=2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b=﹣2m﹣1＞0，

∴m=﹣4．

若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，則m的值為﹣4

【解析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出結論；（2）設方程的兩根分別為a、b，根據根與系數的關系結合菱形的性質，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根據a+b=﹣2m﹣1＞0，即可確定m的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用求根公式和根與系數的關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．