Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F，點M是邊AB的一個三等分點，則△AOE與△BMF的面積比為 ．

Answer 1

【答案】3：4
【解析】解：設AB=AC=m，則BM= m， ∵O是兩條對角線的交點，
∴OA=OC= AC= m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB= ，即cos30°= ，
∴FC= m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=FC= m，
∴OE= AE= m，
∴S△AOE= OAOE= × × m= m2 ，
作AN⊥BC于N，

∵AB=AC，
∴BN=CN= BC，
∵BN= AB= m，
∴BC= m，
∴BF=BC﹣FC= m﹣ m= m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B=30°，
∴MH= BM= m，
∴S△BMF= BFMH= × m× m= m2 ，
∴ = = ．
所以答案是3：4．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．