Question

【題目】如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．

（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，則D點的坐標；E點的坐標 ．
（2）如圖②，若AE上有一動點P（不與A、E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N．求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數關系式；t取何值時，S有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應時刻點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（0,2.5）,（2,4）
（2）解：∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴PM：ED=AP：AE，

∴PM= ，

又∵AP=t，ED=2.5，AE=5，

∴PM= = t，

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四邊形NMPE為平行四邊形．

又∵∠DEA=90°，

∴四邊形PMNE為矩形．

∴S矩形PMNE=PMPE= t（5﹣t）=﹣ t2+ t．

∴S矩形PMNE=﹣ （t﹣ ）2+ ，

又∵0＜ ＜5．

∴當t= 時，S矩形PMNE有最大值 ．

（3）解：（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點，

∴t=AP= AE=2.5．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點．

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF= OD= ，OF= OA=2.5，

∴當t=2.5時，（0＜2.5＜5），△AME為等腰三角形．

此時M點坐標為（2.5，1.25）．

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD= = ．

過點M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴AP：AE=AM：AD．

∴t=AP= =2 ．

∴PM= t= ．

∴MF=MP= ，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2 ，

∴當t=2 時，（0＜2 ＜5），此時M點坐標為（5﹣2 ， ）．

（Ⅲ）根據圖形可知EM=EA的情況不成立．

綜合綜上所述，當t=2.5或t=2 時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，相應M點的坐標為（ ， ）或（5﹣2 ， ）．

【解析】解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE= =3．

∴CE=2．

∴E點坐標為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD=2.5．

∴D點坐標為（0，2.5）．

所以答案是：（0，2.5），（2，4）；

【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．