Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB如圖，AB是
⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若E是弧AC的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）CD與圓O相切，理由如下：由AC為角平分線得到一對角相等，利用等角對等邊得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，進而得到OC與CD垂直，即可得證；
（2）連接EB，交OC于F，利用直徑所對的圓周角為直角，以及切線的性質，得到一對直角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OC與AD平行，由O為AB中點，得到F為BE中點，利用中位線定理求出OF的長，進而利用勾股定理求出EF的長，陰影部分面積等于三角形EDC面積，求出即可．

解答 解：（1）CD與圓O相切，理由如下：
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
則CD與圓O相切；                                
（2）連接EB，交OC于F，
∵E為弧AC的中點，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AC為∠DAB平分線，
∴∠EAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∴∠EAC=∠OCA，∠ECA=∠CAO，
∴AE∥OC，EC∥AO，
∴四邊形AECO為平行四邊形，
∵OA=OC，
∴四邊形AECO為菱形，
∴AE=OA=1，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴EB∥CD，
∵CD與⊙O相切，C為切點，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∵點O為AB的中點，
∴OF為△ABE的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$，即CF=DE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則S_陰影=S_△DEC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，角平分線性質，以及扇形面積求法，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．