Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連OD，OE，由圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；

（2）由切線的性質得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB==，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到=，求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長．

試題解析：（1）證明：連OD，OE，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵EB為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴=，∴CD=×6=4，在Rt△CBE中，設BE=x，∴，解得x=．即BE的長為．