Question

【題目】我們定義：如果兩個三角形的兩組對應邊相等，且它們的夾角互補，我們就把其中一個三角形叫做另一個三角形的“夾補三角形”，同時把第三邊的中線叫做“夾補中線．例如：圖1中，△ABC與△ADE的對應邊AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE邊的中線，則△ADE就是△ABC的“夾補三角形”，AF叫做△ABC的“夾補中線”．

特例感知：

（1）如圖2、圖3中，△ABC與△ADE是一對“夾補三角形”，AF是△ABC的“夾補中線”；

①當△ABC是一個等邊三角形時，AF與BC的數量關系是：　 　；

②如圖3當△ABC是直角三角形時，∠BAC＝90°，BC＝a時，則AF的長是　 　；

猜想論證：

（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AF與BC的關系，并給予證明．

拓展應用：

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等邊三角形，求證：△PCD是△PBA的“夾補三角形”，并求出它們的“夾補中線”的長．

Answer 1

【答案】（1）AF＝BC；a；（2）猜想：AF＝BC，（3）

【解析】

（1）①先判斷出AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，進而判斷出∠ADE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性質即可得出結論；

②先判斷出△ABC≌△ADE，利用直角三角形的性質即可得出結論；

（2）先判斷出△AEG≌△ACB，得出EG＝BC，再判斷出DF＝EF，即可得出結論；

（3）先判斷出四邊形PHCD是矩形，進而判斷出∠DPC＝30°，再判斷出PB＝PC，進而求出∠APB＝150°，即可利用“夾補三角形”即可得出結論．

解：（1）

∵△ABC與△ADE是一對“夾補三角形”，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，

①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°

∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，

∴∠ADE＝30°，

∵AF是“夾補中線”，

∴DF＝EF，

∴AF⊥DE，

在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，

故答案為：AF＝BC；

②當△ABC是直角三角形時，∠BAC＝90°，

∵∠DAE＝90°＝∠BAC，

易證，△ABC≌△ADE，

∴DE＝BC，

∵AF是“夾補中線”，

∴DF＝EF，

∴AF＝DE＝BC＝a，

故答案為a；

（2）解：猜想：AF＝BC，

理由：如圖1，延長DA到G，使AG＝AD，連EG

∵△ABC與△ADE是一對“夾補三角形”，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，

∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，

∴△AEG≌△ACB，

∴EG＝BC，

∵AF是“夾補中線”，

∴DF＝EF，

∴AF＝EG，

∴AF＝BC；

（3）證明：如圖4，

∵△PAD是等邊三角形，

∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，

∵∠ADC＝150°，

∴∠PDC＝90°，

作PH⊥BC于H，

∵∠BCD＝90°

∴四邊形PHCD是矩形，

∴CH＝PD＝3，

∴BH＝6﹣3＝3＝CH，

∴PC＝PB，

在Rt△PCD中，tan∠DPC＝，

∴∠DPC＝30°

∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，

∴∠APB+∠CPD＝180°，

∵DP＝AP，PC＝PB，

∴△PCD是△PBA的“夾補三角形”，

由（2）知，CD＝，

∴△PAB的“夾補中線”＝．