Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A在B點左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線x=，OA=2，OD平分∠BOC交拋物線于點D（點D在第一象限）；

（1）求拋物線的解析式和點D的坐標；

（2）點M是拋物線上的動點，在x軸上存在一點N，使得A、D、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點M的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BPD的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3，（2，2）；（2）（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）存在，（ ， ）．

【解析】（1）由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，根據對稱軸方程求出B點的坐標，然后將它們代入拋物線的解析式可求出待定系數的值；OD平分∠BOC，那么直線OD的解析式為y=x，聯立拋物線的解析式即可求出D點的坐標；

（2）分兩種情況討論：①以AD為對角線的平行四邊形AMDN，此時MD∥x軸，則M、D的縱坐標相同，由此可求得M點的坐標；②以AD為邊的平行四邊形ADNM，由于平行四邊形是中心對稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標的絕對值相等，可據此求出M點的坐標；

（3）由于BD的長為定值，若△BPD的周長最短，那么PB+PD應該最短，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，連接AD，直線AD與對稱軸的交點即為所求的P點，可用待定系數法求出直線AD的解析式，聯立拋物線對稱軸方程即可得到P點坐標．

解：（1）∵OA=2，

∴A（﹣2，0）．

∵A與B關于直線x=對稱，

∴B（3，0），

∵A、B，兩點在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴，

解得；

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+3．

過D作DE⊥x軸于E．

∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC，

∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，

∴DE=OE，即xD=yD，

∴x=﹣x2+x+3，

解得x1=2，x2=﹣3（舍去），

∴D（2，2）；

（2）分兩種情況討論：

①當AD為平行四邊形AMDN的對角線時，

∵MD∥AN，即MD∥x軸，

∴yM=yD，

∴M與D關于直線x=對稱，

∴M（﹣1，2）；

②當AD為平行四邊形ADNM的邊時，

∵平行四邊形ADNM是中心對稱圖形，△AND≌△ANM，

∴|yM|=|yD|，即yM=﹣yD=﹣2，

∴令﹣x2+x+3=﹣2，即x2﹣x﹣10=0；

解得x=，

∴M（，﹣2）或M（，﹣2）．

綜上所述：滿足條件的M點有3個，即M（﹣1，2）或M（，﹣2）或M（，﹣2）；

（3）∵BD為定值，

∴要使△BPD的周長最小，只需PD+PB最小．

∵A與B關于直線x=對稱，

∴PB=PA，只需PD+PA最小．

連接AD，交對稱軸于點P，此時PD+PA最小．

由A（﹣2，0），D（2，2）可得直線AD：y=x+1，

令x=，得y=，

∴存在點P（， ），使△BPD的周長最小．