Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求證：點F是AD的中點；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半徑CD的長．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）5.

試題分析：（1）欲證點F是AD的中點，只須證AF=DF，可以證明△AEF≌△DEF得出；
（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知條件，勾股定理，切割線定理的推論可以求出；
（3）根據△AEC∽△BEA易得AE²=CE•BE，因此（5k）²=k•（10+5k），解得k=2，所以CD=k=5．
試題解析：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED為⊙O直徑，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴點F是AD的中點；
（2）解：連接DM，
設EF=4k，DF=3k，

則ED=，
∵AD•EF=AE•DM，
∴DM=，
∴ME=，
∴cos∠AED=；
（3）∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE²=CE•BE，
∴（5k）²=k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD=k=5．
考點: 1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質；3.銳角三角函數的定義．