Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D，AC=20，BC=15．動點P從A開始，以每秒2個單位長的速度沿AB方向向終點B運動，過點P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為E、F．

（1）求AB與CD的長；
（2）當矩形PECF的面積最大時，求點P運動的時間t；
（3）以點C為圓心，r為半徑畫圓，若圓C與斜邊AB有且只有一個公共點時，求r的取值范圍．

Answer 1

（1）25，12；（2）6.25；（3）r=12，15＜r≤20.

試題分析：（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的長，然后由面積關系求出CD的長；
（2）由相似關系可以求出PE、CE與t的關系，矩形PECF的面積最大，求點P運動的時間t；
（3）當圓與AB相切時，r=12，當圓與AB相交且只有一個交點時，15＜r≤20.
試題解析：（1）在Rt△ABC中，AC=20，BC=15
∴
又
∴
（2）∵△APE∽△ABC,
∴
∴，即，
同理可求：
設矩形PECF的面積為S，S="1.2t(20-1.6t)" ，當t=6.25時，S有最大值.
（3）當圓與AB相切時，r=12，當圓與AB相交且只有一個交點時，15＜r≤20.
考點: 1.勾股定理；2.二次函數；3.直線與圓的位置關系.