Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是對角線AC上的兩個動點，且EF＝2，P是正方形四邊上的任意一點．若△PEF是等邊三角形，則符合條件的P點共有_____個，此時AE的長為_____．

Answer 1

【答案】4 或

【解析】

當點P在AD上時，過點PH⊥EF于H，由等邊三角形的性質可求PH＝，由正方形的性質可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求點P在AB，CD，BC上時，AE的值，即可求解．

解：如圖，當點P在AD上時，過點PH⊥EF于H，

∵△PEF是等邊三角形，PH⊥EF，

∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，

∴PH＝，

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，

∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，

∵PH⊥AC，

∴∠APH＝∠PAH＝45°，

∴AH＝PH＝，

∴AE＝﹣1，

同理可得：當點P在AB上時，AE＝﹣1，

當點P在CD或BC上時，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，

故答案為：4，或．