Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數的圖象交于點A（1，6），B（3，n）兩點．

（1）求一次函數的表達式；

（2）在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+8 ；（2）P（0,5） 3

【解析】試題分析：（1）將A點坐標代入反比例函數解析式即可求出m的值，再將x=3代入反比例函數解析式解得n的值，由此得出B點的坐標，結合A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可求出一次函數的表達式；

（2）作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點P，在y軸上任選一點不同于P點的P′點，由三角形內兩邊之和大于第三邊來驗證點P就是我們找到的使得PA+PB的值最小的點，由A點的坐標找出點A′的坐標，由待定系數法可求出直線A′B的函數表達式，令x=0即可得出P點的坐標；再結合三角形的面積公式與點到直線的距離即可求出△PAB的面積．

試題解析：解：（1）將點A（1，6）代入反比例函數中，得6=，即m=6．

故反比例函數的解析式為．

∵點B（3，n）在反比例函數上，∴n==2．即點B的坐標為（3，2）．

將點A（1，6）、點B（3，2）代入y=kx+b中，得： ，解得： ．

故一次函數的解析式為y=﹣2x+8．

（2）作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點P，如圖1所示．

在y軸上任取一點P′（不同于點P）．∵A、A′關于y軸對稱，∴AP=A′P，AP′=A′P′．在△P′A′B中，有A′P′+BP′=AP′+BP′＞A′B=A′P+BP=AP+BP，∴當A′、P、B三點共線時，PA+PB最小．

∵點A的坐標為（1，6），∴點A′的坐標為（﹣1，6）．

設直線A′B的解析式為y=ax+b，將點A′（﹣1，6）、點B（3，2）代入到y=ax+b中，得： ，解得： ，∴直線A′B的解析式為y=﹣x+5，令x=0，則有y=5．

即點P的坐標為（0，5）．

直線AB解析式為y=﹣2x+8，即2x+y﹣8=0．

AB==，點P到直線AB的距離d==．

△PAB的面積S=ABD=××=3．