Question

【題目】如圖，A、B兩點的坐標分別為（0，4），（0，2），點P為x軸正半軸上一動點，過點A作AP的垂線，過點B作BP的垂線，兩垂線交于點Q，連接PQ，M為線段PQ的中點．

（1）求證：A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上；

（2）當⊙M與x軸相切時，求點Q的坐標；

（3）當點P從點（1，0）運動到點（2，0）時，請直接寫出線段QM掃過圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（2，6）；（3）.

【解析】試題分析：（1）連接AM、BM，由△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點，可得AM＝BM＝PM=QM，從而問題得證；

(2) 作MG⊥y軸于G，MC⊥x軸于C，由已知求得MC＝OG＝3，確定出在點P運動的過程中，點M到x軸的距離始終為3，從而確定點Q的縱坐標始終為6， 當⊙M與x軸相切時則PQ⊥x軸，作QH⊥y軸于H，由△BOP∽△QHB，根據相似三角形的性質即可得；

（3）由相似可得：當點P在P1（1，0）時，Q1（8，6）則M1（ ，3），當點P在P2（2，0）時，Q2（4，6），則M2（3，3），根據線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1，根據梯形的面積公式進行計算即可得.

試題解析：（1）連接AM、BM，

∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點，

∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，

∴A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上；

(2) 作MG⊥y軸于G，MC⊥x軸于C，∵AM＝BM，

∴G是AB的中點，由A（0，4），B（0，2）可得MC＝OG＝3，

∴在點P運動的過程中，點M到x軸的距離始終為3，

則點Q到x軸的距離始終為6，即點Q的縱坐標始終為6，

當⊙M與x軸相切時則PQ⊥x軸，作QH⊥y軸于H，

HB＝6－2＝4，設OP＝HQ＝x，

由△BOP∽△QHB，得x 2＝2×4＝8，x＝2，

∴點Q的坐標為（2，6）；

（3）由相似可得：當點P在P1（1，0）時，Q1（8，6），則M1（ ，3），

當點P在P2（2，0）時，Q2（4，6），則M2（3，3），

∴M1M2＝ －3＝ ，Q1Q2＝8－4＝4，

線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1，

其面積為： ×(＋4 )×3＝.